Le Paradoxe de
Monty Hall
Si vous aimez la magie, vous ne devriez pas être insensibles aux problèmes
mathématiques et autres paradoxes. Mathématiques et magie sont souvent liés,
un des plus grand spécialiste dans ce domaine étant le regretté Martin
Gardner (21 Octobre 2014 - 22 Mai 2010). Alors que je faisais des recherches
sur les probabilités, je suis tombé sur ce problème aussi qualifié de paradoxe.
Je vous propose dans un premier temps de faire connaissance avec le problème et son
énoncé, puis de voir comment s'en convaincre.
L'énoncé du problème
Ce problème est tiré d'un jeu télévisé américain, Let's make a deal
présenté par Monthy Hall (1946-2017). Un candidat se trouvait devant trois portes, une
cachait une voiture, les deux autres une chèvre.
Pour des raisons pratiques, nous remplacerons les portes par des boîtes.
Imaginons donc trois boîtes, deux sont vides et
une contient une pièce. Vous êtes le seul qui connaissez la position de la pièce. Vous
expliquez à un spectateur la situation et qu'il va devoir choisir une boîte. Une fois
qu'il en aura choisi une, vous ouvrirez une vide parmi les deux restantes et lui
proposerez de modifier son choix.
Si le spectateur choisit la boîte numéro 1, vous ouvrez la boîte numéro 2 pour
montrer qu'elle est vide. Reste donc deux boîtes fermées, la 1 choisie par le spectateur
et la 3. Vous lui proposez de modifier son choix s'il le souhaite et de prendre la
boîte 3. Quelle est la meilleure stratégie pour le spectateur ?
Le raisonnement intuitif
Dans l'immense majorité des cas, le spectateur aura le raisonnement suivant dit "
intuitif ". Il pensera que cela ne change pas grand chose car il a, selon lui, une
chance sur deux de gagner. En fait ce raisonnement est faux. Comme bien souvent nous nous
faisons piéger par l'évidence ou bien ce que nous croyons être évident. Car le
spectateur aura plus de chance de gagner en modifiant son choix et en prenant la boîte 3.
Alors dit ainsi, vous ne me croirez pas. Voyons ceci d'un point de vue statistique.
Au départ nous avions une chance sur trois de trouver la bonne boîte (1/3 ou 33.3%),
donc deux chances sur trois de se tromper (2/3 ou 66%). Croyez-le ou non, le fait d'ouvrir
une boîte ne change pas les probabilités. Le rapport de force reste inchangé ; en
gardant votre choix initial vous avez toujours 1 chance sur 3, en modifiant votre choix
vous passez à 2 chances sur 3 de gagner. Attention ce n'est pas une méthode infaillible
pour gagner, car vous avez peut être fait le bon choix au départ, et en le modifiant
même si les statistiques sont en votre faveur, vous perdriez.
Ne soyez pas surpris si vous ne me croyez pas, c'est normal, car instinctivement vous
serez dans le raisonnement dit intuitif. Celui d'une chance sur deux.
Au moment de l'ouverture d'une boîte, c'est vrai mais statistiquement c'est faux.
Augmentation de l'échelle
Il existe un tas d'explication, ne serait-ce
que ce que je viens d'énoncer plus haut. Encore faudrait-il qu'elles parviennent à vous
convaincre. Personnellement je restais dubitatif, c'est sans doute pour cela qu'on le nomme
paradoxe.
Je m'étais mis en tête de démontrer l'absurdité du raisonnement en augmentant le
nombre de boîtes. Si je passais à 100 boîtes, je devais logiquement avoir 99 % de
chance de gagner en changeant mon choix de départ. Ce chiffre me paraissait absurde, en
fait j'allais vite comprendre que je raisonnais à l'envers.
Je me suis donc imaginé 100 boîtes, je choisissais la numéro 23. Mon magicien
imaginaire ouvrait toutes les boîtes sauf la 62 et me proposait de changer mon choix, a
priori 1 chance sur 2. Mais comme au départ le nombre de boîtes était beaucoup plus
important, quelle était la chance que je tombe sur la bonne boîte du premier coup ?
Statistiquement 1 %, la pièce se trouvait plus probablement dans une des 99 autres
boîtes. En changeant mon choix pour la seule boîte laissée fermée par le magicien,
j'avais bien 99% de chance de gagner.
Dans cette situation, il est évident que la meilleure stratégie est de modifier son
choix. Bien qu'il reste une infime possibilité d'avoir dés le début choisi la bonne.
Conclusion, si ce raisonnement est valable pour 100 boîtes alors il l'est pour 3.
C'est donc bien grâce à la taille de l'échelle que l'on peut comprendre ce problème
qui dans un premier temps peut être difficile à admettre.
De la théorie à la Magie
Tout cela c'est bien beau mais nous sommes ici sur un site de magie, alors que puis-je
faire avec cette information ? C'est avant tout un moyen de passer un bon moment avec des
amis et de leur parler de ce problème. La chance est grande qu'ils ne vous croient pas.
Vous pourrez les convaincre en leur faisant la démonstration. Vous pourriez aussi à la
suite de ces explications passer un moment magique.
Comment ? En recréant la situation avec trois boîtes mais pas n'importe lesquelles,
en utilisant des rattle box. Vous voyez où je veux
en venir ? Inutile de vous faire un dessin ou bien d'ouvrir la boîte, un simple secousse
servira à éliminer la boîte qui ne contient pas la pièce. A vous de la faire
apparaître dans la boîte de votre choix. Vous pourriez utiliser des petites boîtes d'allumettes
avec une supplémentaire pour le son. Les possibilités sont nombreuses.
Vous pourriez prévoir la réussite ou non d'un
spectateur, déjouer les statistiques, faire gagner le spectateur de votre choix et pour
le final faire disparaître la pièce. Voici une façon intéressante d'aborder un vrai
problème mathématique et de terminer par une routine amusante ou mystérieuse.
A vous de jouer...
Juillet 2017
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